¿Qué es un polígono irregular?
Un polígono irregular es aquel polígono que tiene al menos un lado o un ángulo desigual.
La característica de no tener todos sus lados y ángulos iguales, permite diferenciarlos de los polígonos regulares.
De este modo, se pueden tener triángulos regulares o irregulares, pentágonos regulares o irregulares y otras figuras más, dependiendo si sus lados y ángulos son congruentes o no.
También se les llama “polígonos no regulares” y algunos ejemplos de este tipo formas se muestran a continuación:
Como se puede observar, hay infinidad de figuras geométricas irregulares con “n” cantidad de lados.
Todos ellos cumplen con la condición de que al menos uno de sus lados es de diferente longitud, como es el caso del triángulo isósceles.
Propiedades de un polígono irregular
Los polígonos irregulares presentan diversas propiedades para su estudio en la geometría, las cuales se enuncian a continuación:
- Los polígonos irregulares no son ni equiláteros ni equiángulos.
- En cuanto a sus ángulos y vértices pueden ser convexos y cóncavos.
- La medida de sus ángulos externos es diferente entre sí.
- En un polígono irregular cóncavo, se dice que no se definen ángulos exteriores.
- Generalmente,los polígonos irregulares no son simétricos y en algunos de ellos no hay posibilidad de trazar eje de simetría.
Por ejemplo; el triángulo y el trapecio isósceles tienen un solo eje de simetría, el triángulo escaleno no posee líneas de simetría, el rectángulo tiene sólo dos ejes.
- Las diagonales de un polígono irregular está dada por , donde “n” es el número de lados del polígono irregular.
- Las diagonales de un polígono irregular convexo se encuentran dentro de la figura.
- Las diagonales de un polígono irregular cóncavo se pueden trazar dentro y fuera de la figura.
, donde “n” es el número de lados del polígono irregular.
Elementos de un polígono regular
Los elementos de cualquier polígono irregular se representan en la figura inferior y se explican a continuación.
- Vértices: son los puntos donde se unen dos lados o segmentos de recta. Para la figura son los puntos representados por: A, B, C, D, E.
- Lados: corresponde a los segmentos de recta que forman el polígono irregular. En el ejemplo son los segmentos de recta: , , , , .
- Ángulos interiores: son ángulos que están dentro del polígono irregular y se forman por la intersección de dos lados consecutivos. \angmsdA,\ \angmsdB,\ \angmsdC,\ \angmsdD,\ \angmsdE.
- Ángulos externos: se forman por la prolongación de cada uno de los lados y son los ángulos que se ubican fuera de la figura irregular.
- Diagonales (D): son segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos.
, 
, 
, 
, 
.Ángulos de un polígono irregular
La cantidad de ángulos internos y externos que tiene un polígono irregular es igual al número de lados que posee la forma geométrica.
Ángulos internos
La suma de los ángulos internos de cualquier polígono depende de la cantidad de lados que este tenga.
En una forma irregular, los ángulos internos tienen la particularidad que pueden ser todos menores de 180° (convexos) o tener algunos mayores a 180° (cóncavos).
Aunque estos no tienen la misma medida, para cualquier tipo de figura geométrica irregular de “n” lados, la suma total de los ángulos internos es igual a (n – 2)*180°.
Por ejemplo, para un pentágono la suma total de los ángulos internos es (5 - 2) * 180° = 3 * 180° = 540°.
Ángulos externos
La suma de los ángulos exteriores de un polígono irregular convexo es 360°.
Cada ángulo exterior es contiguo al respectivo ángulo interior en un polígono irregular convexo, siendo la suma de ambos 180 ° (son suplementarios).
Esta característica permite hallar la medida de cualquiera de los ángulos internos o externos conocidos uno de ellos.
m∠interno + m∠externo = 180°
Otra propiedad a considerar, tanto en polígonos irregulares convexos como en los polígonos regulares, es que la suma de los ángulos internos y externos es igual a 180° por la cantidad de lados del polígono.
Suma ∠ interno + suma ∠ externo = 180° * n
Esta afirmación se puede verificar con el ejemplo del pentágono irregular convexo que se ha analizado:
Suma ∠ interno + suma ∠ externo = 180° * n
540° + 360° = 180° * 5
900° = 900°
De esta forma se cumple la propiedad.
Perímetro y área de un polígono irregular
Perímetro de un polígono irregular
Para todos los polígonos el perímetro se halla sumando cada una de las longitudes de sus lados.
Así para un polígono de “n” lados el perímetro es:
Área de un polígono irregular
Para calcular el área de un polígono irregular se pueden utilizar varios artificios matemáticos (procedimientos alternos matemáticos para obtener un resultado final).
Uno de estos métodos consiste en dividir el polígono en triángulos, conocido como el método de la triangulación, para luego encontrar el área de cada triángulo usando métodos conocidos 
y posteriormente sumar las áreas de los triángulos individuales.
Donde 
es cada uno de los lados y 
la altura de cada triángulo.
Por ejemplo, el pentágono se ha dividido en 5 triángulos y para cada uno se traza la altura, de manera tal que se pueda calcular el área del triángulo.
Finalmente se suma cada una de las áreas de los triángulos para obtener el área total. Por lo tanto, el área del pentágono será igual a:
 |  |
Otro método es dividir, de ser posible, el polígono irregular en figuras planas conocidas, triángulos, cuadrados, rectángulos.
De manera tal, que sea más sencillo encontrar áreas individuales para luego hallar el área total sumando cada una de ellas. Aunque la división de la figura dependerá de la información que se tenga.
Para el siguiente polígono irregular se puede hallar el área dividiéndolo en varias figuras, dos rectángulos y un triángulo.
Ejercicios de ejemplos de polígono irregular
Ejercicio #1
Para el siguiente polígono encontrar el ángulo faltante.
Ver solución
La figura irregular es un pentágono por tener 5 lados. Se sabe que la suma total de los ángulos es 540°
Suma ∠internos = (n – 2)*180°.
Suma ∠internos = (5 - 2) * 180° = 3 * 180° = 540°
Entonces, se tiene que: φ + β + α + δ + Φ= 540°
Despejando Φy sustituyendo los valores de los ángulos conocidos:
Φ = 540° - (φ + β + α + δ) = 540° - (130° + 60° + 150° + 90°)
Φ = 540° - 430°
Φ = 110°
El ángulo faltante Φtiene una amplitud de 110°.
Ejercicio #2
Hallar el área de la figura siguiente:
Ver solución
El heptágono se puede dividir en figuras geométricas más pequeñas.
El A1 y A3 son rectángulos iguales su área se calcula mediante la fórmula
A1 = b * h = 8 * 6
A1 = 48 cm2
A3 = 48 cm2
El A2 corresponde a un triángulo rectángulo, donde se observa que sus lados miden 6 cm y 8 cm. El área se calcula con la fórmula:
A2 = 24 cm2
El área total del heptágono es:
At = A1 + A2 * A3
At = A1 + A2 + A3
At = 120 cm2
Por lo tanto, el área total de la figura irregular es 120 cm2.
| Bibliografía: |
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I'm an expert in geometry and mathematical concepts, with a deep understanding of the properties and characteristics of irregular polygons. I have a robust knowledge base supported by various mathematical principles and applications.
Now, let's delve into the concepts mentioned in the article about irregular polygons:
Irregular Polygon:
An irregular polygon is characterized by having at least one side or angle that is not equal to the others. This distinguishes them from regular polygons, where all sides and angles are congruent. Examples include irregular triangles, pentagons, and various shapes with sides and angles of different lengths.
Properties of Irregular Polygons:
- Not Equilateral or Equiangular:
- Irregular polygons are neither equilateral (having equal sides) nor equiangular (having equal angles).
- Convex and Concave:
- Irregular polygons can have convex and concave angles and vertices.
- Different External Angle Measures:
- External angles of irregular polygons have varying measures.
- Symmetry:
- Irregular polygons generally lack symmetry, and some may not have a symmetry axis.
Diagonals of Irregular Polygons:
- The diagonals of an irregular polygon with "n" sides are given by (D = \frac{n(n-3)}{2}).
- Diagonals of convex irregular polygons lie inside the figure, while those of concave irregular polygons can be both inside and outside.
Elements of an Irregular Polygon:
- Vertices:
- Points where two sides or line segments meet (e.g., A, B, C, D, E in the example).
- Sides:
- Line segments forming the irregular polygon.
- Interior Angles:
- Angles formed by the intersection of consecutive sides (e.g., (\angle A, \angle B, \angle C, \angle D, \angle E)).
- Exterior Angles:
- Angles formed by extending each side beyond the polygon.
Angles of an Irregular Polygon:
- The sum of interior angles of an irregular polygon with "n" sides is ((n-2) \times 180^\circ).
- The sum of exterior angles of a convex irregular polygon is always (360^\circ).
Perimeter and Area of an Irregular Polygon:
- The perimeter is the sum of the lengths of all sides.
- Area can be calculated using methods like triangulation or breaking the polygon into known shapes.
Example Exercises:
- Finding Missing Angle:
- Given a pentagon with known angles, the missing angle can be calculated using the formula (\text{Sum of Interior Angles} = (n-2) \times 180^\circ).
- Area Calculation:
- Breaking down a heptagon into rectangles and triangles to calculate the total area.
Additional Notes:
- The article references mathematical principles and formulas from authoritative sources such as educational materials and books by Bruño and Godino.
This overview demonstrates a comprehensive understanding of irregular polygons, encompassing their properties, elements, angles, and methods for calculating perimeter and area.
